Descargar manual de wxmaxima

Resolucin de ecuaciones 85 4. Sus capacidades cubren sobradamente las necesidades de un alumno de un curso de Clculo en unos estudios de Ingeniera.

Lo que presentamos aqu son unas notas sobre el uso de Maxima para impartir la parte corres- pondiente a unas prcticas de ordenador en una asignatura de Clculo que incluya derivadas e integrales en una y varias variables y una breve introduccin a ecuaciones diferenciales ordinarias.

Adems de eso, hemos aadido unos captulos iniciales donde se explican con algo de detalle algunos conceptos ms o menos generales que se utilizan en la resolucin de problemas con Ma- xima. Hemos pensado que es mejor introducir, por ejemplo, la gestin de grcos en un captulo separado que ir comentando cada orden en el momento que se use por primera vez.

Esto no quiere decir que todo lo que se cuenta en los cuatro primeros captulos sea necesario para el desarrollo del resto de estas notas. De hecho, posiblemente es demasiado. En cualquier caso pensamos que puede ser til en algn momento.

Por qu Hay muchos programas que cumplen en mayor o menor medida los requisitos que se necesitan para ensear y aprender Clculo.

Slo por mencionar algunos, y sin ningn orden particular, casi todos conocemos Mathematica Wolfram Research o Maple Maplesoft.

Tambin hay una larga lista de programas englobados en el mundo del software libre que se pueden adaptar a este trabajo. Siempre hay que intentar escoger la herramienta que mejor se adapte al problema que se presenta y, en nuestro caso, Maxima cumple con creces las necesidades de un curso de Clculo.

Es evidente que Mathematica o Maple tambin pero creemos que el uso de programas de software libre permite al alumno y al profesor estudiar cmo est hecho, ayudar en su mejora y, si fuera necesario y posible, adaptarlo a sus propias necesidades.

Adems pensamos que el programa tiene la suciente capacidad como para que el alumno le pueda seguir sacando provecho durante largo tiempo. Estamos todos de acuerdo en que esto slo es un primer paso y que Maxima se puede utilizar para problemas ms complejos que los que aparecen en estas notas. Esto no es un callejn sin salida sino el comienzo de un camino. Dnde y cmo No es nuestra intencin hacer una historia de Maxima, ni explicar cmo se puede conseguir o instalar, tampoco aqu encontrars ayuda ni preguntas frecuentes ni nada parecido.

Al momento de escribir estas notas, en dicha pgina puedes encontrar versiones Introduccin iv listas para funcionar disponibles para entornos Windows y Linux e instrucciones detalladas para ponerlo en marcha en Mac OS X. Este entorno programa es wxMaxima. Nos va a permitir que la curva de aprendizaje sea mucho ms suave.

Desde el primer da el alumno ser capaz de realizar la mayora de las operaciones bsicas. A pesar de ello, en todos los ejemplos seguimos utilizando la notacin de Maxima que es la que le aparece al lector en pantalla y que nunca est de ms conocer. Sobre la instalacin en alguna distribucin Linux es mejor consultar la ayuda sobre su correspondiente programa para gestionar software.

Granada a 10 de septiembre de Primeros pasos Introduccin 5 Primeros pasos 1 1. Cuan- do iniciamos el programa se nos presenta una ventana como la de la Figura. En la parte superior tienes el men con las opciones usuales abrir, cerrar, guardar y otras relacionadas con las posi- bilidades ms matemticas de Maxima. En segundo lugar aparecen algunos iconos que sirven de atajo a algunas operaciones y la ventana de trabajo.

En sta ltima, podemos leer un recordatorio de las versiones que estamos utilizando de los programas Maxima y wxMaxima as como el entorno Lisp sobre el que est funcionando y la licencia GNU Public License : 1 wxMaxima 0. Dedicated to the memory of William Schelter. Figura 1. Bueno, no parece mucho. Seguro que tienes una calculadora que hace eso. De acuerdo. Es slo el principio. Observacin 1. Conviene hacer algunos comentarios sobre lo que acabamos de hacer: Por defecto, la ventana de wxMaxima aparece en blanco.

En las preferencias del programa, se puede elegir que aparezca la 1 versin instalada al inicio del mismo como se ve en la gura. Justamente lo que nos haba pasado. En estos casos el uso de parntesis es obligado. Es un primer ejemplo de que la potencia de clculo de Maxima es mayor que la de una calculadora que no suele tener ms all de 10 o Ya s lo que estars pensando en este momento: en lugar de elevar a 57, elevemos a un nmero ms grande. Nos dice que, en este caso, hay dgitos que no est mostrando.

Se puede saber cules son? Nos vamos al men MaximaCambiar pantalla 2D y escogemos ascii. Por ltimo, repetimos la operacin. La salida con formato xml es una mejora de wxMaxima. El punto y coma sirve para terminar un comando o separar varios de ellos. Maxima tiene pre- denidas la mayora de las funciones usuales.

En realidad es la mejor posible: Maxima es un programa de clculo simblico y siempre intentar dar el resultado en la forma ms exacta. Cul era el resultado anterior? No slo podemos referirnos a la ltima respuesta sino a cualquier entrada o salida anterior. La precisin de un ordenador es el nmero de dgitos con los que hace los clculos. En un hipottico ordenador que nicamente tuviera capacidad para almacenar el primer decimal, el nmero sera representado como 3.

Esto puede dar lugar a errores si, por ejemplo, restamos nmeros similares. Maxima realiza los clculos de forma simblica o numrica. En principio, la primera forma es mejor, pero hay ocasiones en las que no es posible. Maxima tiene dos tipos de nmeros: exactos y aproximados. La diferencia entre ambos es la esperable. En una calculadora normal todos los nmeros son aproximados y la precisin el nmero de dgitos con el que trabaja la calculadora es limitada, usualmente 10 o 12 dgitos.

Ahora bien, en cuanto algn trmino sea aproximado el resultado nal ser siempre aproximado. En caso de que cambiemos su valor a true, la respuesta de Maxima ser aproximada. En wxMaxima, podemos utilizar el men Numricoconmutar salida numrica para cambiar el valor de la variable numer. La variable fpprec guarda el nmero de dgitos significativos en la aritmtica con nmeros decimales de punto flotante grandes "bigfloats". La variable fpprec no afecta a los clculos con nmeros decimales de punto flotante ordinarios.

Primeros pasos Funciones usuales 11 Maxima puede trabajar con cualquier precisin. Dicha precisin la podemos jar asignando el valor que queramos a la variable fpprec. Los nmeros en coma otante grandes siempre terminan con b seguido de un nmero n para indicar que debemos multiplicar por 10 n. Por ltimo, observa que, como se puede ver en la Figura 1.

Los nombres de estas funciones suelen ser su abreviatura en ingls, que algunas veces diere bastante de su nombre en castellano. No importa que el exponente sea racional.

En segundo lugar, la posibilidad de denir funciones a partir de funciones conocidas nos abre una amplia gama de posibilidades. En el segundo captulo veremos con ms detalle cmo trabajar con funciones. Funciones trigonomtricas e hiperblicas Maxima tiene predenidas las funciones trigonomtricas usuales seno, sin, coseno, cos, y tangente, tan, que devuelven, si es posible, el resultado exacto.

Funciones usuales Primeros pasos 14 Tambin estn predenidas sus inversas, esto es, arcoseno, arcocoseno y arcotangente, que se escriben respectivamente asin x , acos x y atan x , as como las funciones recprocas secante, sec x , cosecante, csc x , y cotangente, cot x 2. Otras funciones Adems de las anteriores, hay muchas ms funciones de las que Maxima conoce la denicin.

En el desarrollo de Taylor de una funcin veremos que estos nmeros nos simplican bastante la notacin. El nmero no aparece como tal por defecto en wxMaxima. Para que aparezca as, puedes marcar Usar fuente griega dentro 2 de PreferenciasEstilo.

Primeros pasos Operadores lgicos y relacionales 15 Una de las funciones que usaremos ms adelante es random. Conviene comentar que su comporta- random miento es distinto dependiendo de si se aplica a un nmero entero o a un nmero decimal, siempre positivo, eso s.

Si el nmero x es natural, random x devuelve un natural menor o igual que x1. En el caso de que utilicemos nmeros decimales random x nos devuelve un nmero decimal menor que x. La lista de funciones es mucho mayor de lo que aqu hemos comentado y es fcil que cualquier funcin que necesites est predenida en Maxima. En la ayuda del programa puedes encontrar la lista completa.

Las desigualdades slo se aplican a parejas de expresiones. Lo cierto es que Maxima no ha desarrollado la expresin. Hay que tener en cuenta que x podra valer 1. Te parece tan mala la respuesta ahora?

Si nosotros disponemos de informacin adicional, siempre podemos ayudar. Esto puede dar lugar a errores si volvemos a utilizar la variable x en un ambiente distinto ms adelante. El comando forget nos permite hacer olvidar a Maxima. Uno de los motivos de esto es que no hay que declarar tipos previamente. El nombre de una variable puede ser cualquier cosa que no empiece por un nmero.

Puede ser una palabra, una letra o una mezcla de ambas cosas. Los valores que asignamos a una variable no se borran por s solos. Siguen en activo mientras no los cambiemos o comencemos una nueva sesin de Maxima.

Quiz por costumbre, todos tendemos a usar como nombre de variables x, y, z, t, igual que los primeros nombres que se nos vienen a la cabeza de funciones son f o g.

Despus de trabajar un rato con Maxima es fcil que usemos una variable que ya hemos denido antes. Es posible que dar un valor a una variable haga que una operacin posterior nos de un resultado inesperado o un error. Cul es el resultado? To debug this try debugmode true ; Efectivamente, un error. Hay dos maneras de evitar esto. Esto lo podemos hacer con la orden kill o con la orden remvalue.

Tambin puedes ir al men Maximaborrar variable y escribir las variables que quieres borrar. Por defecto se borrarn todas. Si te jas, dentro del men Maxima tambin hay varios tems interesantes: se pueden borrar funciones y se pue- den mostrar aquellas variables y funciones que tengamos denidas. Esto se consigue con la orden values. Existen versiones similares para borrar funciones, reglas, etc.

En cambio, la orden kill es la versin genrica de borrar valores de kill cualquier cosa. Hemos borrado cualquier valor que tuvisemos previamente denido. Entonces, qu puede hacer Maxi- ma que sea imposible con una calculadora? Bueno, entre otras muchas cosas que veremos posteriormente, la prin- cipal utilidad de Maxima es el clculo simblico, es decir, el trabajar con expresiones algebraicas expresiones don- de intervienen variables, constantes Casi todas las rdenes de esta seccin, ya sea expandir o simplicar expresiones, se encuentran en el men Simplicar y, opcionalmente, en los paneles de wxMaxima.

Comencemos con funciones sencillas. Y las potencias? Maxima no factoriza ni desarrolla automticamente: debemos decirle que lo haga. Cmo lo hacemos?

Si queremos dividir en fracciones simples tenemos que usar partfrac. No vamos a comentar todas, ni mucho menos, pero mencionar algunas de ellas nos puede dar una idea del grado de control al que tenemos acceso. Quedara demasiado largo en pantalla. La orden expand permite acotar qu potencias desarrollamos. Por ejemplo, expand expr,3,5 slo desarrolla aquellas potencias que estn entre 3 y 5.

Factorizacin factor expr escribe la expresin como producto de factores ms sencillos La orden factor realiza la operacin inversa a expand. Por ejemplo, cul de las dos siguientes expresiones te parece ms sencilla? Para simplicar expresiones racionales, ratsimp funciona bastante bien aunque hay veces que es necesario aplicarlo ms de una vez.

La orden fullratsimp simplica algo mejor a costa de algo ms de tiempo y proceso. En lugar de expand y factor, utilizaremos las rdenes trigexpand, trigsimp y trigreduce.

Estos es muy a grosso modo. Al igual que con expand o ratsimp, se puede ajustar el comportamiento de estas rdenes mediante el valor de algunas variables como trigexpand, trigexpandplus o trigexpandtimes.

Consulta la ayuda de Maxima si ests interesado. La ayuda de Maxima Primeros pasos 26 1. En el mismo men tenemos algunos comandos que nos pueden ser tiles. La lista dependencies es acumulativa: cada llamada a depends o gradef aade elementos adicionales.

Vanse depends y gradef. Es obligatorio el espacio en blanco entre la interrogacin 3 y la expresin. Mientras no respondamos a esto no podemos realizar ninguna otra operacin.

Si has mirado en el men de wxMaxima, seguramente habrs visto AyudaA propsito. Su apropos propsito es similar a las dos interrogaciones,?? Si ya tenemos una idea de lo que estamos buscando, muchas veces ser suciente con esto.

Muchas veces es mejor un ejemplo sobre cmo se utiliza una orden que una explicacin terica. Esto lo podemos conseguir con la orden example.

Son ms de pginas que explican prcticamente cualquier detalle que se te pueda ocurrir. Calcula a Los primeros decimales del nmero e, b el logaritmo en base 3 de Ejercicio 1. Escribe sen 5x cos 3x en funcin de sen x y cos x. Comprueba si las funciones hiperblicas y las correspondientes arco-versiones son inversas. Grcos Funciones 29 Grcos 2 2. Lo haremos, tanto para grcas en coordenadas cartesianas como para grcas en coordenadas pa- ramtricas y polares.

Por ejemplo, podemos dene utilizar la funcin g para denir una nueva funcin y, de hecho veremos que sta es la manera correcta de hacerlo cuando la denicin involucra funciones previamente denidas, derivadas de funciones, etc. El motivo es que la orden define evala los comandos que pongamos en la denicin. La lista de funciones que hemos denido se guarda en la variable functions a la que tambin puedes acceder desde el men MaximaMostrar funciones de manera similar a como accedemos a la lista de variables.

En el mismo men, MaximaBorrar funcin tenemos la solucin a cmo borrar una funcin o todas. Tambin podemos hacer esto con la orden remfunction. Esencialmente hay dos formas de denir y trabajar con funciones a trozos: a denir una funcin para cada trozo con lo que tendremos que ocuparnos nosotros de ir esco- giendo de elegir la funcin adecuada, o b utilizar una estructura if-then-else para denirla. El primero de ellos nos hace aumentar el nmero de funciones que denimos, usamos y tenemos que nombrar y recordar.

Adems de esto, cualquier cosa que queramos hacer, ya sea representar grcamente o calcular una integral tenemos que plantearlo nosotros. Maxima no se encarga de esto.

La principal limitacin del segundo mtodo es que las funciones denidas de esta manera no nos sirven para derivarlas o integrarlas, aunque s podremos dibujar su grca. En este caso tenemos que anidar varias estructuras if-then-else o denir tantas funciones como trozos. Al comando plot2d se puede acceder tambin a travs del men GrcosGrcos 2D o, directamente, a travs del botn Grcos 2D.

Cuando pulsamos el botn Grcos 2D , aparece una ventana de dilogo con varios campos que podemos completar o modicar: a Expresin es. La funcin o funciones que queramos dibujar. Aqu establecemos el intervalo de la variable x donde queramos representar la funcin.

Figura 2. Nos permite regular el nmero de puntos en los que el programa evala una funcin para su representa- cin en polares. Veremos ejemplos en la seccin siguiente. Maxima realiza por defecto la grca con un pro- grama auxiliar. Si seleccionamos en lnea, dicho progra- ma auxiliar es wxMaxima y obtendremos la grca en una ventana alineada con la salida correspondiente. Hay dos op- ciones ms y ambas abren una ventana externa para dibujar la grca requerida: gnuplot es la opcin por defecto que utiliza el programa Gnuplot para realizar la representacin; tambin est disponible la opcin openmath que utiliza el programa XMaxima.

Prueba las diferentes opciones y decide cul te gusta ms. Aqu podemos seleccionar algunas opciones para que, por ejemplo, dibuje los ejes de coordenadas "set zeroaxis;" ; dibuje los ejes de coordenadas, de forma que cada unidad en el eje Y sea igual que el eje X "set size ratio 1; set zeroaxis;" ; dibuje una cuadrcula "set grid;" o dibuje una grca en coordenadas polares "set polar; set zeroaxis;".

Esta ltima opcin la comentamos ms adelante. Guarda el grco en un archivo con formato Postscript. Evidentemente, estas no son todas las posibles opciones. La cantidad de posibilidades que tiene Gnuplot es inmensa. Observacin 2. El prejo wx aadido a plot2d o a cualquiera del resto de las rdenes que veremos en este captulo plot3d, draw2d, draw3d hace que wxMaxima pase automticamente a mostrar los grcos en la misma ventana y no en una ventana separada. Es lo mismo que seleccionar en lnea.

Veamos algunos ejemplos de las opciones que hemos comentado. El resultado debera ser la circunferencia unidad. Sin embargo, aparentemente es una elipse. Antes, tenemos que recordar cmo se denen estas funciones. Lo hacemos con un ejemplo. Al representar una curva en coordenadas polares estamos es- cribiendo la longitud del vector como una funcin que depende del ngulo.

En otras palabras, para cada ngulo jo decimos cul es el mdulo del vector. El ejemplo ms sencillo de funcin que a cualquiera se nos viene a la cabeza son las funciones constantes. Para ello, tenemos que seleccionar "set polar; set zeroaxis;" en el campo Opciones de Grficos 2D.

En este caso obtenemos una espiral. Para conseguir el efecto visual de una lnea curva como es esta hlice, aadimos el parmetro nticks. Por defecto, para dibujar una grca en paramtricas el programa evala en 10 puntos. Para ello, dentro del comando plot2d aadimos parametric de la forma siguiente: plot2d [parametric,x t ,y t ,[t,a,b]] grca de la curva x t , y t en [a, b] Para acceder a esta opcin de la funcin plot2d podemos hacerlo a travs del botn Especial que aparece en la parte superior derecha de la ventana de dilogo Grficos 2D.

Para terminar, aqu tienes algunas curvas planas interesantes. Astroide: Es la curva trazada por un punto jo de un crculo de radio r que rueda sin deslizar dentro de otro crculo jo de radio 4r. Sus ecuaciones paramtricas son. Aqu tienes sus ecuaciones paramtricas. Es aquella espiral en la que el radio vector corta a la curva en un ngulo constante.

Es la curva que describira un punto de una circunferencia que avanza girando sin deslizar. Cuando elegimos esta opcin, aparece una nueva ventana en la que tendremos que escribir las coordenadas, separadas por comas, de los puntos que van a ser los vrtices de la curva poligonal que queremos dibujar.

Para ello denimos la lista de puntos que queramos pintar y a continuacin, dentro del plot2d aadimos la opcin style,points que dibuja los puntos y no los segmentos que los unen. De la misma forma, si queremos modicar el aspecto de los segmen- tos: dentro de style elegimos la opcin lines seguida de dos cifras [lines,,] que hacen referencia al ancho de la lnea y al color.

Podemos ampliar el rango de las variables x e y y obtenemos algo as. La principal diferencia es que vamos a utilizar el comando plot3d plot3d en lugar de plot2d, pero igual que en el caso anterior, son obligatorios la funcin o funciones y el dominio que tiene que ser de la forma [a, b] [c, d]. La grca que acabas de obtener se puede girar sin ms que pinchar con el ratn sobre ella y deslizar el cursor.

Despus de esto aparece la ventana de la Figura 2. La funcin o funciones que vayamos a dibujar. Hay dos campos para indicar el dominio de las dos variables.

Indica cuntas valores se toman de cada variable para representar la funcin. Cuanto mayor sea, ms suave ser la representacin a costa de aumentar la cantidad de clculos. Igual que en plot2d, permite escoger qu programa se utiliza para representar la funcin. Se puede girar la grca en todos ellos salvo si escoges en lnea. Grcos Grcos en 3D 45 e Opciones.

Las comentamos a continuacin. Permite elegir un chero donde se guardar la grca. Quiz la mejor manera de ver el efecto de las opciones es repetir el dibujo anterior. En otras palabras, hace la supercie slida y no transparente. A simple vista parece el mismo dibujo que tenamos dos salidas antes. Observa bien: hay una pequea diferencia. El uso de pm3d hace que se coloree el dibujo, pero cuando decimos que no se muestra la parte no visible de la gura nos estamos reriendo a la malla.

Quiz es mejor dibujar la malla y el manto de colores por separado para que se vea la diferencia. Esta opcin no viene disponible por defecto en wxMaxima. Ten en cuenta que las opciones que tiene Gnuplot son casi innitas y slo estamos comentando algunas. Ya veremos ejemplos ms adelante.

Se trata de un mdulo adicional que hay que cargar previamente para poder usarlo. Comencemos por esto. Un grco est compuesto por varias opciones y el objeto grco que queremos dibujar. Aqu comentaremos algunas de ellas pero la ayuda del programa es insustituible.

En segundo lugar aparece el objeto grco. Estos pueden ser de varios tipos aunque los que ms usaremos son quizs explicit y parametric.

Para dibujar un grco tenemos dos posibilidades a Si tenemos previamente denido el objeto, draw objeto , o bien, draw b draw2d definicin del objeto si lo denimos en ese momento para dibujarlo.

Simplemente escribimos uno tras otro separados por comas. En el siguiente ejemplo estamos mezclando una funcin dada explcitamente y una curva en coordenadas paramtricas. Co- menzamos con las opciones e iremos poniendo ejemplos con cada uno de los objetos. Las locales slo afectan al objeto que les sigue y, obligatoriamente, tienen que precederlo. En cambio las globales afectan a todos los objetos dentro de la orden draw y da igual su posicin aunque solemos escribirlas todas juntas al nal.

Opciones globales xrange, yrange, zrange: rango de las variables x, y, z. Por defecto se ajusta automticamente al objeto que se est representando pero hay ocasiones en que es preferible jar un rango comn.

Es una opcin global. La opcin grid nos ayuda a hacernos una idea de los valores que estamos representando. Su valor por defecto es 1. Afecta a los objetos de tipo point. Ya lo hemos usado en casi todos los ejemplos anteriores. Por defecto es Un nmero mayor aumenta el detalle del dibujo aunque a costa de un mayor tiempo de clculo y tamao del chero si se guarda.

Slo afecta a los objetos de tipo ellipse, explicit, parametric, polar y parametric. Grcos con draw Grcos 54 contour nos permite dibujar o no las curvas de nivel de una supercie.

Para funciones de una variable usaremos explicit f x ,x,a,b para dibujar f x en [a, b]. Con funciones de dos variables escribiremos explicit f x, y ,x,a,b,y,c,d. La gura cuya representacin es ms sencilla en coordenadas cilndricas te la puedes imaginar.

Representamos el mdulo y damos dnde varan los dos ngulos. Adems de la ecuacin debemos indicar los intervalos dnde pueden tomar valores las variables. En el dibujo siguiente puedes comprobar cmo la opcin nticks permite mejorar, aqu empeorar, un grco aumentando o, como en este caso, disminuyendo el nmero de puntos que se utilizan para dibujarlo.

Grcos con draw Grcos 60 points: para representar una lista de puntos en el plano o en el espacio tenemos dos posibilidades. Podemos dar los vectores de la forma 6 [[x1,y1],[x2,y2], Para dar un vector hay que jar el origen y la direccin. En el ejemplo usaremos la orden makelist que genera una lista de acuerdo a la regla que aparece como primera entrada con 6 tantos elementos como indique el contador que le sigue.

En el prximo captulo lo comentaremos con ms detalle. Podemos representar su grca para distintos valores de n y con ello logramos una buena visualizacin de su evolucin que en este caso ser una onda que se desplaza. Para que una animacin tenga calidad es necesario que todos los grcos individuales tengan el mismo tamao y que no den saltos para lo que elegimos un intervalo del eje de ordenadas comn.

Para ver la animacin, cuando se hayan representado las grcas, haz clic con el ratn sobre ella y desplaza la barra slider que tienes bajo el men. De esta forma t mismo puedes controlar el sentido de la animacin , as como la velocidad. En cualquier caso, en primer lugar siempre empezamos con el parmetro, una lista de valores del parmetro y el resto debe ser algo aceptable por el correspon- diente comando con el que vayamos a dibujar.

La orden makelist i,i,1,20 nos da todos los nmeros naturales comprendidos entre 1 y Ya veremos con ms detalle en el Captulo 3 cmo podemos manejar listas. De nuevo, en primer lugar va el parmetro, despus, una lista que indica los valores que tomar el parmetro y el resto debe ser algo aceptable por la orden draw o draw3d, respectivamente.

Un detalle importante en este caso es que el parmetro no slo puede afectar a la funcin sino que podemos utilizarlo en cualquier otra parte de la expresin.

Te recuerdo que el parmetro puede aparecer en cualquier posicin. Podemos utilizarlo para indicar el ngulo de rotacin y conseguir dar la vuelta a la superce. Representa en una misma grca las funciones seno y coseno en el intervalo [2, 2]. Utiliza las opciones adecuadas para que una de las funciones se represente en azul y otra en rojo y, adems, tengan grosores distintos. Ejercicio 2.

Compara las grcas de las funciones cos x y cos x. A qu conclusin llegas sobre la paridad o imparidad de la funcin coseno? Haz lo mismo con la funcin sen x y sen x. Ejercicios Grcos 66 Ejercicio 2. Compara el crecimiento de estas funciones cerca de cero y lejos de cero. Qu ocurre si la base de la exponencial y del logaritmo es menor que 1? Dibuja las grcas de las funciones coseno hiperblico, seno hiperblico, argu- mento seno hiperblico y argumento coseno hiperblico.

Alguna de ellas es par o impar? Son positivas? Representa la curva cos x 2 x sen x 2 en el intervalo [, ] y sobre ella 5 puntos cuyo tamao y color debes elegir t. Sabras hacer lo mismo con 8 puntos elegidos aleatoriamente? Dibuja un tringulo y colorea los vrtices en rojo, verde y azul.

Une con segmentos los puntos medios de cada lado del tringulo para dibujar otro tringulo. Representar las siguientes curvas y supercies dadas en forma polar o paramtrica. Representa una elipse de semiejes 2 y 4. Inscribe en ella un rectngulo y, dentro del rectngulo, una circunferencia. Dibuja la elipse en azul, el rectngulo en verde y la circunferencia en rojo. Realiza una animacin grca que represente la cicloide. Encuentra las funciones cuyas grcas corresponden a las siguientes curvas: En el siguiente captulo puedes encontrar una explicacin ms detallada sobre como denir y operar con listas.

Una lista se escribe agrupando entre corchetes los objetos que queramos separados por comas. De hecho Maxima tiene puesto nombre a las diez primeras: first, second, Obtenemos el mismo resultado indicando la posicin entre corchetes.

Trmino a trmino. Esto no tiene nada que ver con el producto escalar o con el producto vectorial. El producto escalar, por ejemplo, se indica con. En la prctica, muchas de las listas que aparecen estn denidas por alguna regla. Por ejemplo, queremos dibujar las funciones sen x , sen 2x , Seguro que no tienes ganas de escribir la lista completa. Este es el papel de la orden makelist. El caso que suele ser ms til es una lista cuyas entradas sean un rango de enteros.

Por ejemplo, se puede calcular el cuadrado de los primeros naturales? Y su media aritmtica o su media geomtrica? Las rdenes map y apply nos ayudan a resolver este problema. La ordenmap permite aplicar una fun- map cin a cada uno de los elementos de una lista. Por ejemplo, para calcular sen 1 , sen 2 , You will receive mail with link to set new password. Share Tweet Pin Share Share.

Trending Podcast: Tolo, el camionero geek, de cerca. Trending Dos aplicaciones para escribir tranquilamente y sin distracciones. Alf Propietario de www. Saludos, Rafa. Ingrer Tengo el mismo problema que todos, wxMaxima no conecta con Maxima y he probado todo. Javier Deja una respuesta Cancelar la respuesta Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.

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Similiar to Wolfram's Mathematica. A lot less polished but hey it's free! Linux Mint. My Places Sign in.